שיעור 92: שאלה קצרה 2023 1חלקי f(x)

תרגול עם סעיפי חשיבה 5 יחידות-שאלות קצרות

1🔵 סעיף 1: לאילו ערכי a יש לגרפים של f(x) ו-1/f(x) שתי נקודות חיתוך

2🟣 סעיף 2: המרחק בין האסימפטוטות האופקיות הוא 1.5 – מציאת k

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x). הפונקציה מוגדרת עבור x ≠ 1 , x ≠ −1. משוואות האסימפטוטות של f(x) הן: x = 1 , x = −1 , y = k , k > 1. שיעורי נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר y הם (0 , −a) , a מספר חיובי.

🔵 סעיף 1: לאילו ערכי a יש לגרפים של f(x) ו-1/f(x) שתי נקודות חיתוך

מצאו עבור אילו ערכים של a יש לגרפים של f(x) ו-1f(x) שתי נקודות חיתוך. נמקו.

חיתוך: f(x) = 1f(x)

f(x)1 = 1f(x) ← כפל בהצלבה: (f(x))² = 1

f(x) = 1 או f(x) = −1 (ערכי y, לא x).

f(x) = 1 ← לא אפשרי: k > 1 ובגובה y = 1 אין גרף של f(x).

לכן החיתוך רק ב-f(x) = −1, בענף האמצעי.

במעבר ל-1f(x): ה-x לא זז, ה-y הופך ל-1y; מקסימום הופך למינימום ועלייה לירידה.

(0 , −a) ← (0 , −1a)

🔵 סעיף 1: לאילו ערכי a יש לגרפים של f(x) ו-1/f(x) שתי נקודות חיתוך · המשך

(0 , −a) ← (0 , −1a)

כדי שיהיו שתי נקודות חיתוך, המינימום של 1f(x) צריך להיות מתחת למקסימום של f(x): −1a < −a.

a = 2: f → (0 , −2) , 1f(x) → (0 , −12) – גבוה יותר ← אין חיתוך.

a = 12: f → (0 , −12) , 1f(x) → (0 , −2) – נמוך יותר ← שתי נקודות חיתוך.

✅ 0 < a < 1

🟣 סעיף 2: המרחק בין האסימפטוטות האופקיות הוא 1.5 – מציאת k

נתון כי המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות f(x) ו-1f(x) הוא 1.5. מהו הערך של k? נמקו.

האסימפטוטה האופקית של f(x): y = k

של 1f(x): y = 1k (כל y הופך ל-1y); k > 1 ← 1k נמוכה יותר.

k − 1k = 1.5

כופלים ב-k:

k² − 1 = 1.5k

k² − 1.5k − 1 = 0

k = 2 או k = −12 ← לא מתאים (k > 1)

✅ k = 2

📌 לזכור

💡

ב-1f(x) ה-x נשאר וה-y הופך ל-1y: y = k ← y = 1k, מקסימום ← מינימום, ונקודות שבהן f(x) = ±1 משותפות לשני הגרפים.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא